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À propos de ces quelques pages... Cette présentation de la première partie de ma thèse (comportement vibratoire de structures 1D préfractales) est librement adaptée d'un article actuellement soumis au "Journal of Sound and Vibration" (JSV). L'idée générale qui sous-tend cette partie est que les tructures auto-similaires constituent d'excellent filtres fréquentiels (type "stop-band") aujourd'hui méconnus et donc sous-employés. Ici, où la démarche analytique est relativement aisée (structures monodimensionnelles), on explore le comportement vibratoire d'un système mécanique localement surchargé de masses ponctuelles. La majeure partie de l'étude se situe dans le domaine fréquentiel. Dans ce cas là, l'étude de la propagation et en particulier le mécanisme d'alimentation en énergie de la zone où se produit la localisation sont occultés. Mais les précieuses informations délivrées par la densité d'état intégrée ne sont pas disponibles autrement. |
Les propriétés vibratoires des structures pésentant une fractalité de masse ont été largement
étudiées depuis le début des années 1980[1,
2, 3, 4] et le travail pionnier d' Anderson[5] sur la localisation. Dans un artilce[6] paru en 2003, nous avons présenté une étude
expérimentale et numerique sur la propagation acoustique dans des guides d'ondes
préfractals pour lesquels des bandes de fréquences interdites et des "modes piégés" ont
été observés. Ces modes ont été assimilés à un phénomène localisation.
Un tel guide d'onde acoustique est intéressant quand on cherche à piéger un bruit ayant une
propagation guidée monodimentionnelle, mais il est difficile de procéder à une mesure
continue de la pression à l'intérieur de la strucure pour vérifier l'hypothèse de
localisation. Par ailleurs, le guide d'onde peut être modéliser par un système mécanique à
constantes localisées pour lequel une réalisation expérimentale simple est souvent possible
et dont l'étude analytique donne des résultats en de nombreux points comparables avec la
structure continue. Ici, ce système mécanique est basé sur une chaîne de masses identiques
couplées par des raideurs (ressorts) qui est assimilable à une corde quand la longueur des
raideurs tend vers zero1 . Self
similarity is obtained by adding extra masses at points corresponding to the Cantor
set.
Le but de cette étude est de présenter des résultats analytiques et numériques sur ce
système. Les propriétés vibratoires des structures 1D localement chargées avec différentes
configurations ont été étudiées pendant presque un siècle[7, 8, 9, 10, 11, 12].
Depuis 1982 et la découverte des quasi-cristaux, le comportement vibratoire des structures 1D
quasi-periodiques ont été explorées[11,
12, 13, 14].
Il a été montré que ces structures sont d'une certaine façon intermédiares entre les
structures périodique[8] et celles
aléatoires[5], avec des modes propres
étendus et localisés. Les structures hiérarchiques telles que le systémem précédement
défini sont proches de cette dernière famille.